[양자역학] 3. 슈뢰딩거 방정식 (2) - 진동 운동

■ 슈뢰딩거 방정식

진동 운동에서의 슈뢰딩거 방정식은 퍼텐셜 에너지가 1/2 kx^2인 슈뢰딩거 방정식이 됩니다.

이 미분방정식은 에르미트 다항식을 쓸 수 있도록 꼴을 바꾸면 바로 해결됩니다.

에르미트 다항식은, 위 꼴을 만족하는 미분방정식의 해를 말합니다.

그런데 여기서 2E/ħw - 1 = 2n 이 됩니다.

https://ko.m.wikipedia.org/wiki/%EC%97%90%EB%A5%B4%EB%AF%B8%ED%8A%B8_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D

https://ko.m.wikipedia.org/wiki/%EC%97%90%EB%A5%B4%EB%AF%B8%ED%8A%B8_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D

그러면 해는 이렇게 나옵니다.

정규화를 하면 정규화 상수는 상당히 복잡하게 나옵니다.
∫(∞,-∞) HnHn'e^(-x^2) 는 n=/=n'일 때 0, n=n'일 때 √π × 2^n × n! 가 됩니다. 그리고 이를 이용해 정규화를 하면 됩니다.

그리고 2E/ħw - 1 = 2n 이므로
E = ħw(n+1/2) 가 성립합니다.


■ 진동 운동의 특징

여기서 양자역학에서의 진동 운동의 몇 가지 특징을 알 수 있습니다.

파동함수가 에르미트 다항식의 꼴로 나타내어지기 때문에
1. n이 0이나 짝수이면 우함수, 홀수이면 기함수가 됩니다.
2. node의 개수는 n입니다.
3. n이 클 때 turning point에서 |ψ|^2가 최대가 됩니다.
4. turning point에서 터널링이 일어납니다.
5. Hn'' - 2xHn' + 2nHn = 0, H(n+1) - 2xHn + 2nH(n-1) = 0 입니다. 이는 recursion relation(점화식)이라고 합니다.

또한 에너지의 성질에서 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.
1. ΔE = E(n+1) - E(n) = ħw = ħ√(k/m)
2. Zero point energy(영점 에너지)가 존재합니다. E(0) = 1/2 ħw 입니다.
3. E ∝ √k 입니다.


■ 생성/소멸 연산자