[양자역학] 2. 양자역학의 공리 (3) - 중첩과 불확정성 원리

■ 중첩(superposition)과 기대값(expectation)

자유 입자(free particle)에 대해 시간 비의존 1차원 슈뢰딩거 방정식의 일반해는 다음과 같습니다.

그런데 이 일반해를 잘 보다보면, ψ=sinkx 같은 경우, 아이겐 함수가 성립하지 않는 것을 알 수 있습니다.

파동함수가 연산자의 고유함수가 아닌 경우에는 어떻게 해석해야 할까요?

이 경우, 측정값이 특정한 값을 가지지 않는다고 해석하면 안 됩니다. 이 경우에는 파동함수가 연산자의 고유함수의 선형결합이라고 해석해야 합니다.

즉,
Ψ = c1φ + c2φ + c3φ + ...
입니다.


이때 슈뢰딩거 방정식의 해는 다음과 같이 해석합니다.

1. 측정된 ω값은 여러 고유함수 φ의 고유값들 중 하나입니다.

2. 각 측정값 ωn이 측정될 확률은 |cn|^2입니다.

3. 측정값의 평균값은 <^Ω> = ςΨ*^ΩΨdτ = <Ψ|^Ω|Ψ>




■ 불확정성 원리(uncertainty principle)

자유 입자에 대한 시간 비의존 1차원 슈뢰딩거 방정식을 풀다보면, 위치와 운동량을 동시에 특정할 수 없다는 것을 알 수 있습니다.

 

이러한 원인은 무엇일까요?


일반적으로, 교환자에 대해 [^A, ^B] =/=0 인 경우, 그 고유값 a와 b는 서로 상보적이라고 합니다.
그리고 이 때
Δa Δb >= |<[^A, ^B]>| / 2
로 구해집니다.

이때
Δx = √(<x^2>-<x>^2)
Δp = √(<p^2>-<p>^2)

입니다.

그런데 [^x, ^p]가 iℏ 입니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

따라서
ΔxΔp = ℏ/2
라고 할 수 있습니다.


이러한 이유로, 슈뢰딩거 방정식에서 위치와 운동량을 동시에 특정할 수 없습니다.