[양자역학] 2. 양자역학의 공리 (2) - 연산자

지난 시간에는 양자역학의 공리 중 파동함수에 대해 알아보았습니다.

이번 시간에는 나머지 양자역학의 여러가지 공리(postulate)에 대해 알아봅니다.


■ 연산자
연산자는 보통 문자 위에 ^ 기호를 적어 다른 기호와 구분합니다. 이 ^ 기호를 햇(hat) 또는 캐럿(carrot)이라고 합니다.

양자역학에서 쓰이는 대표적인 연산자로는
^x = x×
^p = -ih/2π ∂/∂x
가 있습니다.

□ 선형 연산자
선형대수학에서 어떤 연산자가 선형(linear)이라는 것은
^A(f+g) = ^Af + ^Ag
^A(cf) = c^A(f)
를 만족함을 나타냅니다.

이 선형 연산자는 다음과 같은 성질을 가집니다.

1. 분배법칙을 만족합니다.
^A(^B + ^C)f = (^A^B + ^A^C)f
2. 결합법칙을 만족합니다.
^A^B^Cf = ^A(^B^C)f = (^A^B)^Cf
3. 교환법칙은 일부 경우에만 성립합니다.
^A^B =/= ^B^A

이때 교환법칙이 성립하는지 알 수 있는 방법으로 교환자(commutator)가 있습니다. 교환자 [^A, ^B] = ^A^B - ^B^A = 0 일 때 교환법칙이 성립하고, 0이 아니면 교환법칙이 성립하지 않습니다.


□ 고유값 방정식(eigenvalue equation)

어떤 선형 연산자 ^A에 대해
^Af = af
를 만족하는 함수를 ^A의 고유함수(eigenfuction)라고 하고, 상수 a를 ^A의 고유값(eigenvalue)이라고 합니다.

보통 원어 그대로 아이겐펑션, 아이겐밸류라고 부릅니다.

슈뢰딩거 방정식 ^HΨ = EΨ에서 ^H를 해밀토니안 연산자라고 하며, 이 때 고유함수는 Ψ, 고유값은 E라고 할 수 있습니다.

양자역학에서 고유값은 관찰 가능한 값, 측정값(Observable)을 의미합니다.


□ 에르미트 연산자(Hermitian operator)

어떤 연산자가 에르미트라는 것은,
<f|^A|g> = <g|^A|f>*
를 만족한다는 것을 말합니다.

이때 <f|^A|g>라는 것은, S(f*^Ag)dτ 를 나타냅니다.

에르미트 연산자의 특징은 다음과 같습니다.

1. 에르미트 연산자의 고유값은 항상 실수입니다.

2. 에르미트 연산자에서 고유값이 다른 고유함수끼리는 서로 직교합니다.

그런데 양자역학에서 슈뢰딩거 방정식의 연산자는 모두 에르미트 연산자라는 것을 알 수 있습니다.

위치 연산자 ^x에 대한 증명.

선운동량 연산자 ^p에 대한 증명.

□ 슈뢰딩거 방정식을 푸는 방법

슈뢰딩거 방정식은 기본적으로 고유값 방정식이자 에르미트 방정식입니다. 따라서 다음과 같이 풀이합니다.

1. 슈뢰딩거 방정식을 풀어 고유함수 Ψ를 구한다.
2. 연산자 ^Ω를 구한다.
3. 고유값 ω을 구한다.