[미분적분학] 2. 극한 (3) - 수열의 극한 정리

1.
{an}, {bn} = R 이고 an→L, bn→M이면
lim{an + bn} = L + M

2.
liman = L, c∈R이면 limcan = cL

3. 따름 정리
liman = L, limbn = M, c1, c2 ∈ R이면 lim(c1an + c2bn)  = c1L + c2M

4.
liman = L, limbn=M이면 limanbn = LM

5. 따름 정리
liman=L, k∈Z이면 liman^k = L^k

6. 보조 정리
{an}⊂R-{0}이고 an→L, L≠0이라 하자. 그러면
lim(1/an) = 1/L

7. liman=L, limbn=M≠0이면 lim(an/bn) = L/M

8.
수열 {an}⊂R이 an≥0 ∀n∈N, an→L이면 L≥0

9.
liman=L, limbn=M, an≤bn ∀n∈N이면 L≤M

10. 따름정리
liman=L, an≤M ∀n∈N이면 L≤M

11. 따름정리
liman=L, A≤an≤B ∀n∈N이면 A≤L≤M

12. 협공법
{an}, {bn}, {cn}⊂R에 대해 an≤bn≤cn ∀n∈N
liman=L=limcn
이면 bn=L ∀n∈N

13. {an}⊂R이 an>0 ∀n∈N, lim(an+1/an)=L<1이면, an=0

14. 비교판정법
{an}, {bn}⊂R에 대해, an≤bn ∀n∈N이고
limbn = -∞ 이면,
liman = -∞

{an}, {bn}⊂R에 대해, an≤bn ∀n∈N이고
liman = -∞ 이면,
limbn = -∞


15. 극한비교정리
{xn}, {yn}⊂R^+이고, lim(xn/yn) = L > 0이라 하자. 그러면
limxn = +∞ ⇔ limyn = +∞

---

참고문헌

김용인, 기초 해석학 강의, 경문사, 2008, p64-73