[미분적분학] 1. 함수 (2) - 여러 가지 함수의 성질

■ 구간함수(Piecewise Defined Function)

구간함수란, 정의역의 서로 다른 구간에서 수식이 다르게 정의된 함수를 뜻합니다.

대표적인 구간함수로는 절댓값 함수가 있습니다.


■ 함수의 대칭

정의역의 모든 x에 대해 f(-x) = f(x)를 만족하는 함수 f를 우함수(even function)라고 합니다. 이때 그래프의 개형은 좌우대칭이 됩니다.

대표적인 우함수로는 x^2가 있습니다.

f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)


반면 정의역의 모든 x에 대해 f(-x) = -f(x)를 만족하는 함수 f를 기함수(odd function)라고 합니다. 이때 그래프의 개형은 점대칭이 됩니다.

대표적인 기함수로는 x^3가 있습니다.

f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)


■ 함수의 증가와 감소


구간 I에 속한 x1 < x2인 모든 상황에서 f(x1) < f(x2)일 때 함수 f가 증가(increasing)한다고 부릅니다.

구간 I에 대해 x1 < x2인 모든 상황에서 f(x1) > f(x2)일 때 함수 f가 감소(decreasing)한다고 부릅니다.


■ 함수의 변형

함수의 평행이동은 다음과 같이 진행됩니다.

c > 0에 대해 각 그래프는 다음과 같이 진행됩니다.

• y - c = f(x)는, 그래프 y = f(x)를 c만큼 위로 평행이동시킨 것입니다.
• y + c = f(x)는, 그래프 y = f(x)를 c만큼 아래로 평행이동시킨 것입니다.
• y = f(x - c)는, 그래프 y = f(x)를 c만큼 오른쪽으로 평행이동시킨 것입니다.
• y = f(x + c)는, 그래프 y = f(x)를 c만큼 왼쪽으로 평행이동시킨 것입니다.

c > 1에서, 함수의 확대와 축소는 다음과 같이 진행됩니다.

• y = cf(x)는, 그래프 y = f(x)를 c배만큼 수직으로 확대시킨 것입니다.
• y = (1/c)f(x)는, 그래프 y = f(x)를 c배만큼 수직으로 축소시킨 것입니다.
• y = f(cx)는, 그래프 y = f(x)를 c배만큼 수평으로 축소시킨 것입니다.
• y = f(x/c)는, 그래프 y = f(x)를 c배만큼 수평으로 확대시킨 것입니다.

함수의 대칭이동은 다음과 같이 진행됩니다.

• y = -f(x)는, 그래프 y = f(x)를 x축에 대해 대칭이동한 것입니다.
• y = f(-x)는, 그래프 y = f(x)를 y축에 대해 대칭이동한 것입니다.

함수의 합성은 다음과 같이 이루어집니다.

• (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• (f - g)(x) = f(x) - g(x)
• (fg)(x) = f(x)g(x)
• (f / g)(x) = f(x) / g(x)
• (f ∘ g)(x) = f(g(x))

■ 역함수

어떤 함수 f가 같은 값을 여러 번 갖지 않으면, 그 함수를 '일대일함수'라고 부릅니다.

이를 수식으로 표현하자면, x1=x2인 모든 상황에서 f(x1) ≠ f(x2)

f가 정의역 A와 치역 B를 갖는 일대일함수라고 할 때, 역함수 f^-1은 정의역 B와 치역 A를 가지며, B에 속한 모든 y에 대해 f^-1(y) = x ⇔ f(x) = y로 정의됩니다.

일대일함수 f의 역함수는 다음과 같이 찾습니다.

1. y = f(x)를 쓴다.
2. 가능하다면, x를 y에 대한 함수로 정리한다.
3. f^-1이 x에 대한 함수임을 나타내기 위해 x와 y를 서로 바꾼다. 최종적인 수식은 y = f^-1(x)이다.

역함수 f^-1의 그래프는 그래프 f와 직선 y=x에 대해 대칭이라는 특징이 있습니다.

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참고문헌
James Stewart, Calculus: Early Transcendentals Metric Version 8E, Cengage Learning, Singapore, 2016, p15-19, 40-41, 55-58