[미분적분학] 2. 극한 (6) - 함수의 연속성

■ 연속의 정의
□ 해석학
f : X ⊂ R → R 이고, a∈X라고 하자. 이때,
∀ ε>0, ∃δ(ε)>0 s.t. |x-a|<δ, x∈X ⇒ |f(x)-f(a)|<ε
이면, "함수 f는 점 a에서 연속(continuous at a)"이라고 한다.

f : X ⊂ R → R이고 A⊂X라고 하자.
만일 함수 f가 집합 A의 모든 점에서 연속이면, "f는 A 위에서 연속(continuous on A)"이라고 한다.

□ 미분적분학
limx→a(f(x)) = f(a)일 때, "함수 f는 점 a에서 연속(continuous at a number a)"이라고 한다.

limx→a+(f(x)) = f(a)일 때, "함수 f는 점 a에서 우측으로 연속(continuous from the right at a number a)"이라고 한다.

limx→a-(f(x)) = f(a)일 때, "함수 f는 점 a에서 좌측으로 연속(continuous from the left at a number a)"이라고 한다.


■ 수열판정법
□ 정리: 연속성의 수열판정법
f : X ⊂ R → R 이고, a∈X라고 하자. 그러면,
함수 f는 점 a에서 연속 ⇔ ∀{xn} ⊂ X s.t. xn→a, f(xn)→f(a)

□ 정리: 불연속성의 수열판정법
f : X ⊂ R → R 이고, a∈X라고 하자. 그러면,
함수 f는 점 a에서 불연속 ⇔ ∃{xn} ⊂ X s.t. xn→a, f(xn)-/->f(a)


■ 여러 가지 정리와 정의
□ 정리
f,g : X ⊂ R → R 가 점 a에서 연속이면, 함수
|f|, cf (c∈R), f±g, fg, f/g (g(a)≠0)
도 점 a에서 연속이다.

□정의
주어진 함수 f, g : X ⊂ R → R에 대해, 함수 sup(f, g) : X→R, inf(f, g) : X → R을 다음과 같이 정의한다.
sup(f, g)(x) = sup{f(x), g(x)} ∀x∈R
inf(f, g)(x) = inf{f(x), g(x)} ∀x∈R

□ 정리
f, g : X ⊂ R → R가 점 a에서 연속이면, 함수 sup(f, g), inf(f, g)도 점 a에서 연속이다.



■ 함수의 연속성
1. 모든 다항식은 모든 점에서 연속이다. 다시 말해, R=(-∞, ∞)에서 연속이다.

2. 모든 유리함수는 그것이 정의되는 모든 점에서 연속이다. 다시 말해, 그 정의역에서 연속이다.

3. 다항식, 유리함수, 루트함수, 삼각함수, 역삼각함수, 지수함수, 로그함수는 그 정의역에 속하는 모든 점에서 연속이다.

■ 합성함수의 연속성
□ 해석학
f : A ⊂ R → R, g : B ⊂ R → R, f(A)⊂B라고 하자. f가 a∈A에서 연속이고 g가 f(a)∈B에서 연속이면, 합성함수 g∘f : A→R는 a에서 연속이다.

□ 미분적분학
함수 f가 점 b에서 연속이고 limx→a((g(x))=b일 때, limx→a(f(g(x)))=f(b)이다. 다시 말해,
limx→a(f(g(x)))=f(limx→a(g(x)))


■ 중간값 정리
함수 f가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고, 어떤 수 N이 f(a)와 f(b) 사이의 임의의 수이고 f(a)≠f(b)라고 하자. 그러면 열린구간 (a, b)에 f(c)=N을 만족하는 c가 존재한다.

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참고문헌

김용인, 기초 해석학 강의, 경문사, 2008, p150-157
James Stewart, Calculus: Early Transcendentals Metric Version 8E, Singapore, Cengage Learning, Singapore, 2016, p114-123


≠ ∞ ⇔ ≥ ≤ ∃∈ ∋∀ ⊂ ⊃∅→⇒±∩∘